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UNIDADES DE MEDICIÓN
En la búsqueda de facilitar a los alumnos del bachillerato y universitario los sistemazs de medición más usuales, proporcionamos este pequeño manual.











UNIVERSIDAD JUAREZ DEL ESTADO DE DURANGO

PREPARATORIA DIURNA



TEMAS SELECTOS BÁSICOS EN LAS CIENCIAS EXACTAS DEL BACHILLERATO




ACADEMIA DE MATEMATICAS DE LA ESCUELA
PREPARATORIA DIURNA


ELABORO: RUBEN LOERA RAMIREZ



Durango, Dgo.Enero de 2001






I N D I C E Página

Introducción - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3
Sistemas de unidades - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- 4
Sistemas absolutos - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4
Sistemas gravitacionales - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5
Sistema Internacional de Unidades SI - - - - - - - - - 6
Unidades básicas del sistema internacional de U.- 7
Unidades derivadas del Sistema Internacional - - - 7
Cuadro de comparación del SI y del USCS - - - - - 9
Definiciones - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - -- 10
Factores de conversión - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 11
Constantes y datos físicos importantes - - - - - - - - 14
Método de conversión de unidades - - - - - - - - - -- 15
Tabla de conversión de unidades - - - - - - - - - - - - 21
Regla de tres simple en la conversión de unidades 26
Escalas de temperatura - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 28
Area y volumen de figuras y cuerpos geométricos 33
Teorema de Pitágoras - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 36
Razones trigonométricas - - - - - - - - - - - - - - - - - - 38
Resolución de triángulos rectángulos - - - - - - - - - 40
Resolución de triángulos oblicuángulos - - - - - - - 43
Notación científica - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- 46
Manejo de fórmulas - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- 48
Bibliografía - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 56




INTRODUCCION


La Física , una ciencia que estudia los fenómenos naturales y las leyes que los rigen, como una ciencia experimental, para su estudio y desarrollo, requiere de mediciones de diversa índole, puesto que de la exactitud de las mediciones experimentales que los físicos han tenido que realizar, ha dependido la comprobación y formulación de las leyes físicas que rigen la naturaleza.
A través de la historia, los seres humanos han tenido necesidad también de medir magnitudes diferentes, ya sea para comerciar mercancías, medir distancias, medir tierras, etc. Para esto, ha tenido el hombre que utilizar diversos sistemas de medición.
El lenguaje de la Física y de sus ciencias afines es universal. Los hechos y las leyes físicas se expresan en un lenguaje preciso y cuantitativo para que, los científicos de todo el mundo puedan expresar la misma idea con un mismo término.
En este tratado, se aborda el tema de unidades de medición, haciendo mención de los sistemas que en mayor o en menor grado, se encuentran en uso actualmente en el campo de la ciencia. y se sugieren algunos métodos para hacer las conversiones de un sistema a otro, así como un gran número de factores de conversión y constantes físicas que serán de mucha utilidad para el estudiante durante su educación. Así mismo, se agregan otros temas que son indispensables para abordar las ciencias exactas en general en el bachillerato.







SISTEMAS DE UNIDADES

Un sistema de unidades está formado por dos tipos de unidades: unidades fundamentales y unidades derivadas.
Son “unidades fundamentales “ o unidades básicas, las que sirven como base para formar un sistema de unidades.
Son “unidades derivadas” aquellas que están formadas por dos o más unidades básicas.
Son conocidos actualmente en uso, seis sistemas de unidades: tres sistemas absolutos y tres gravitacionales.
Los sistemas absolutos, tienen como unidades fundamentales, longitud, masa y tiempo. En el siguiente cuadro, se presentan los tres sistemas absolutos, sus unidades fundamentales y algunas unidades derivadas:

SISTEMAS DE UNIDADES ABSOLUTOS
SISTEMA UNIDADES FUNDAMENTALES UNIDADES DERIVADAS
LONGITUD MASA TIEMPO VELOCIDAD ACELERACIÓN

MKS absoluto Metro Kilogramo segundo m/s m/s2
(m) (Kg) (s)

cgs absoluto centímetro gramo segundo cm/s cm/s2
(cm) (g) (s)

Sistema Inglés pie libra segundo ft/s ft/s2
absoluto (ft) (lb) (s)


Algunas unidades derivadas:
MKS absoluto: Unidad de fuerza Newton (N) Kg . m/s2
Energía Joule (J) N . m
Potencia Watt (W) J/s
Presión Pascal (Pa) N/m2

cgs absoluto (unidades derivadas)
Fuerza Dina cm.g/s2
Energía Ergio Dina.cm.
Potencia Ergio/s

Sistema Inglés absoluto (unidades derivadas)
Fuerza Poundal lb.ft/s2
Velocidad ft/s
Aceleración ft/s2

Los sistemas de unidades gravitacionales tienen como unidades básicas o fundamentales, las de longitud, fuerza y tiempo:
SISTEMAS DE UNIDADES GRAVITACIONALES
SISTEMA UNIDADES FUNDAMENTALES
LONGITUD FUERZA TIEMPO
MKS gravitacional metro Kilogramo segundo
(m) fuerza ó (s)
Kilopondio
(Kgf)

cgs gravitacional centímetro gramo fuerza segundo
(cm) grf (s)


Sistema Inglés
Gravitacional pie libra fuerza segundo
(ft) (lbf) (s)




Unidades derivadas de los sistemas gravitacionales:

MKS grav. Masa unidad técnica de masa (UTM)
( Kgf/m/s2 ) MKS

cgs grav. Masa unidad técnica de masa (UTM)
(grf/cm./s2 ) cgs
Sistema Inglés
gravitacional Masa Slug lbf
ft/s2
Para interpretar correctamente las unidades de un sistema, al leer un libro, algún escrito científico o problema, si la masa está expresada en Kilogramos, gramos o libras, la fuerza en Newtons, Dinas o Poundals, se trata de sistemas absolutos. Si la masa está expresada en UTM,o Slug, la fuerza en Kilogramos o libras, se trata de sistemas gravitacionales.

Actualmente, la mayoría de los países del mundo, tienden a unificar sus sistemas de unidades y tratan de adoptar el Sistema Internacional de Unidades ( SI ). Desgraciadamente, las medidas del SI no han sido totalmente adoptadas en muchas aplicaciones industriales por el alto costo que esto significa. En Estados Unidos, no obstante que el sistema internacional de unidades tiene avance, todavía se utiliza en un gran porcentaje de industrias el sistema antiguo de unidades ( USCS ), por esta razón, conviene estar
familiarizado tanto con el sistema internacional de unidades como con el sistema de unidades en Estados Unidos (USCS).







UNIDADES BASICAS DEL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES:
Unidades básicas:

CLASE UNIDAD SIMBOLO
Longitud metro m
Masa Kilogramo Kg
Tiempo segundo s
Intensidad de c. Elec. ampere (amperio) A
Temperatura Kelvin K
Intensidad luminosa candela cd
Cantidad de sustancia mol mol

Unidades complementarias:

Angulo plano radián rad
Angulo sólido estereorradián sr


UNIDADES DERIVADAS PARA CANTIDADES FÍSICAS COMUNES EN EL SISTEMA INTERNACIONAL
MAGNITUD UNIDAD DERIVADA SIMBOLO

Area metro cuadrado m2
Volumen metro cúbico m3
Frecuencia hertz Hz s-1
Densidad kilogramo / metro cúbico Kg/m3
Velocidad metros / segundo m/s
Velocidad angular radián / segundo rad/s
Aceleración metros / segundo al cuadrado m/s2
Aceleración angular radianes / segundo al cuadrado rad/s2
Fuerza newton N Kg.m/s2
Presión pascal Pa N/m2
Viscosidad cinemática metro cuadrado / segundo m2/s
Viscosidad dinámica newton-segundo/metro cuadrado N.s/m2
Trabajo, energía,
cantidad de calor joule (julio) J N.m
Potencia watt W J/s
Cantidad de electricidad coulomb C
Diferencia de potencial,
Fuerza electromotriz volt V J/C
Resistencia del campo
eléctrico volt / metro V/m
Resistencia eléctrica ohm  V/A
Capacitancia faradio F C/V
Flujo magnético weber Wb V.s
Inductancia henry H V.s/A
Densidad de flujo magnético tesla T Wb/m2

Resistencia de campo
magnético ampere / metro A/m
Fuerza magnetomotriz (in-
tensidad de corriente
eléctrica) (I) ampere A
Flujo luminoso lumen lm cd.sr
Luminosidad candela / metro cuadrado cd/m2
Iluminación lux lx lm/m2
Onda una / metro m-1
Entropía julio / kelvin J/K
Capacidad de calor
específico joule / kilogramo °kelvin J/(Kg .°K)
Conducta térmica watt / metro °kelvin W/ (m .°K)
Intensidad radiante watt / estereorradián W/sr
Actividad (de una
fuente radiactiva) 1/ segundo s-1

No obstante que aun cuando el pie, la libra y otras unidades se emplean en Estados Unidos (USCS), éstas han sido redefinidas en términos de las unidades estándar del sistema internacional de unidades (sistema métrico).
Así, todas las mediciones están actualmente basadas en los mismos estándares.

Cuadro de comparación de unidades del SI y del USCS
Magnitud Unidades del SI Unidades del USCS

Longitud metro (m) pie (ft)
Masa Kilogramo (Kg) slug (slug)
Tiempo segundo (s) segundo (s)
Fuerza (peso) newton (N) libra (lb)
Temperatura kelvin (°K) grado Rankin (°R)


Una ventaja propia del sistema métrico con respecto a los otros sistemas de unidades es el uso de prefijos para indicar múltiplos y submúltiplos de la unidad.

múltiplos y submúltiplos para unidades del SI
PREFIJO SIMBOLO MULTIPLICADOR EJEMPLO

Tera T 1,000,000,000,000 = 1x1012 1 terametro (Tm)
Giga G 1,000,000,000 = 1x109 1 gigametro (Gm)
Mega M 1,000,000 = 1x106 1 megametro (Mm)
Kilo K 1,000 = 1x103 1 kilómetro (Km)
centi c 0.01 = 1x10-2 1 centímetro (cm)
mili m 0.001 = 1x10-3 1 milímetro (mm)
micro  0.000001 = 1x10-6 1 micrometro (m)
nano n 0.000000001 = 1x10-9 1 nanometro (nm)
--- A 0.0000000001 = 1x10-10 1 angstrom (A)
pico p 0.000000000001 = 1x10-12 1 picometro (pm)

El uso del centímetro y el amstrong no son muy recomendables, sin embargo, son ampliamente utilizados.



DEFINICIONES:

El metro.- La unidad estándar para la longitud, el “metro” (m), fue originalmente definida como la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre que pasa por París. Por razones prácticas esta distancia fue plasmada en una barra de platino iridiado. En 1960, se cambió el estándar para permitir el acceso de una medida más precisa del metro. Actualmente el metro se define Así:
Un metro es la longitud exacta de 1,650,763.73 longitudes de onda de la luz roja-anaranjada del kripton-86.

El kilogramo.- Es la unidad de masa llamada kilogramo-patrón y es un cilindro de platino iridiado que se conserva en la oficina internacional de pesas y medidas en Francia.

El segundo.- La unidad básica del tiempo es “el segundo”. Anteriormente se definía al segundo como la 1/86,400 ava parte del día solar medio. Actualmente se define como el tiempo que tardan en producirse exactamente una frecuencia de 9 192 631 770 vibraciones de los átomos de cesio.

El Newton.- La unidad de fuerza en el sistema internacional es el “Newton” y se define como la fuerza no equilibrada que comunica a 1 Kg una aceleración de 1 m/s2. 1N = 1 Kg . m/s2.








A continuación se dan algunas definiciones útiles, donde los símbolos de las unidades están entre paréntesis:
1 metro (m) = 1000 milímetros (mm)
1 metro (m) = 100 centímetros (cm)
1 kilómetro (Km) = 1000 metros (m)
1 pulgada (in) = 25.4 milímetros (mm)
1 pie (ft) = .3048 metros (m)
1 yarda (yd) = 0.9144 metros (m)
1 milla (mi) = 1,609.344 metros (m)
1 metro (m) = 39.37 pulgadas (in)
1 metro (m) = 3.2808 pies (ft)
1 metro (m) = 1.094 yardas (yd)
1 kilómetro (Km) = 0.6214 millas (mi)

factores de conversión

Aceleración: 1 m/s2 = 3.28 ft/s2
1 ft/s2 = 0.3048 m/s2


Area: 1 m2 = 10.7584 ft2
1 m2 = 1x106 cm2
1 m2 = 1.55x103 pulgadas cuadradas (in2)
1m2 = 1x106 milímetros cuadrados (mm2)
1 ft2 = 9.29 x 10-2 m2
1 in2 = 6.45 x 10-4 m2
1 Km2 = 3.862x10-1 millas cuadradas (mi2)
1 milla 2 = 2.59x106 m2
1 milipulgada circular = 5.067x10-10 m2
1 ft2 = 9.29x10-2 m2
1 pulgada cuadrada (in2) = 6.45x10-4 m2
1 acre = 4,046.856 m2
(Medidas agrarias) 1 hectárea (Ha) = 2.4711 acres
1 Hectárea (Ha) = 10,000 m2
1 Área (a) = 100 m2
1 centiárea = 1 m2
1 acre = 0.4047 Hectáreas (Ha)
Densidad: 1 g/cm3 = 1x103 Kg/m3
1 slug/ft3 = 515.4 Kg/m3
1 g/cm3 = 102 UTM/m3
1 joule ( j ) = 1 N . m
Energía: 1 BTU = 252 cal
1 cal = 4.184 joules
1 electrón volt (eV) = 1.602x10-19 joules (J)
1 ergio = 1x10-7 joules
1 kilowatt hora (Kw.h) = 3.6x106 joules

Fuerza: 1 newton (N) = 1x105 dinas
1 newton (N) = 0.102 Kgf
1 newton (N) = 7.22 poundal
1 kilogramo fuerza (Kgf) = 9.81 Newtons (N)
1 Kilográmo fuerza (Kgf) = 2.21 Libras (lbf)
1 gramo fuerza (gf) = 981 dinas
1 libra fuerza (lbf) = 4.448 Newtons (N)
1 dina (D) = 1x10-5 newtons

Masa: 1 kilogramo (Kg) = 1000 gramos (g)
1 Kg = 2.21 lb
1 UTM = 9.81 Kg
1 lb = 454 g
1 lb = .454 Kg
1 slug = 14.59 Kg

Longitud: 1 m = 100 cm
1 m = 1000 mm
1 m = 3.28 ft
1 m = 39.36 pulgadas (in)
1 ft = 12 pulgadas (in)
1 ft = 0.3048 m
1 ft = 30.48 cm
1 pulgada (in) = 2.54 cm
1 pulg = 0.0254 m
1 kilómetro = 1000 m
1 milla terrestre = 1,609.3344 m
1 milla terrestre = 5280 ft
1 milla terrestre = 1.609 Km
1 milla marítima (nudo) = 1853 m
1 yarda (yd) = 3 ft
1 año luz = 9.461x1015m
1 milipulgada = 2.54 x10-5 m

VELOCIDAD: 1 m/s = 100 cm/s
1 m/s = 3.28 ft/s
1 m/s = 3.6 Km/h
1 m/s = 2.237 mi/h
1 Km/h = 0.2778 m/s
1 Km/h = 0.9113 ft/s
1 Km/h = 0.6214 mi/h
1 mi/h = 1.609 Km/h
1 mi/h = 1.467 ft/s

VOLUMEN: 1 m3 = 1X106 cm3
1 m3 = 35.2876 ft3
1 lt = 1000 ml
1 lt = 1000 cm3
1 galón = 3.785 lts

POTENCIA: 1 hP = 2545 BTU/h
1 hP = 550 ft.lb/s
1 hP = 746 W
1 hP = 0.1782 Kcal/s
1 Watt = 1 j/s
1 Watt = 2.389 x 10-4 Kcal/s
1 Watt = 1.341 x10-3 hP
1 Watt = 0.7376 ft.lb/s

PRESION: 1 atmósfera = 1.01325x105 Pascales (Pa)
1 atmósfera = 1.01325x106 Dinas/cm2
1 Pa = 1 N/m2
1 Pa = 10 Dinas/cm2
1 Atm. = 76 cm Hg
1 Atm = 406.8 pulgadas de agua
1 Atm. = 2116 lb/ft2
1 atm.= 14.70 lb/in2
1 atm = 760 Torr
1 bara = 1x105 Pa.
1 cm Hg = 13.33 Pa
1 Dina/cm2 = 1x10-1 Pa
1 lb/ft2 = 47.88 Pa
1 lb/in2 = 6895 Pa
1 Torr = 133.3 Pa

TIEMPO: 1 hora = 60 minutos
1 hora = 3600 segundos
1 minuto = 60 segundos
1 día solar medio = 24 horas
1 día solar medio = 86400 segundos

CONSTANTES Y DATOS FISICOS IMPORTANTES

Velocidad de la luz c = 2.997925x108 m/s
= 3x105 Km/s
Constante de gravitación
universal de Newton = 6.67x10-11 N.m2/Kg2
Número de Avogadro Na = 6.023x1026 moléculas/Kmol
NA = 6.023X1023 moléculas /mol
Constante de Boltzmann K = 1.38066x10-23 j/°K
Constante de Stefan-Boltzmann  = 5.67x10-8 W/m2.°K4
Constante de los gases R = 8314 j/Kmol.°K
R = 1.9872 Kcal/Kmol.°K
R = 8.314 j/mol . °K
R = 8.314 x107 ergs/mol.°K
R = 0.0821 lt . atm/°K . mol
Constante de Plank h = 6.6261x10-34 j.s
Carga del electrón e = 1.60218x10-19 C
Masa en reposo del electrón me = 9.1094x10-31 Kg.
Masa en reposo del protón mp = 1.6726x10-27 Kg.
Masa en reposo del neutrón mn = 1.6749x10-27 Kg
Constante de permitividad o = 8.85419x10-12 C2/N.m2
Constante de permeabilidad  = 4x10-7 N/A2
Aceleración de la gravedad estándar g = 9.80665 m/s2
g= 32.17 ft/s2
Masa de la tierra = 5.98x1024 Kg
Radio promedio de la tierra = 6.37x106 m
Densidad promedio de la tierra = 5.570 Kg/m3
Distancia promedio entre la Tierra y la Luna 3.84x108 m
Distancia promedio entre la Tierra y el Sol 1.496x1011 m
Masa del Sol 1.99x1030 Kg
Radio del Sol 7x108 m
Intensidad de radiación del sol en la tierra 0.032 cal/cm2.s
0.134 j/cm2.s
Equivalente mecánico del calor = 4.184 j/cal

METODO DE CONVERSIÓN DE UNIDADES

Este método consiste en utilizar los factores de conversión de tal manera que se cancelan las unidades no deseadas y obtengamos en el resultado las unidades correctas. para ello, debemos de seguir los siguientes pasos:
1°.- Se escribe la cantidad a convertir. Por ejemplo:
convertir 60 Km/h a m/s
Se escribe de la siguiente manera:

60 Km
h
2°.- Buscamos los factores de conversión apropiados. En este ejemplo buscamos en los factores de conversión, las equivalencias de Km a m y de horas a segundos y de cada equivalencia obtenemos dos factores recíprocos:

Equivalencia 1 Km
1 Km = 1000 m 1000 m

1000 m
1 Km



Equivalencia 1h
1h = 3600 s 3600 s

3600 s
1h
3°.- Se seleccionan los factores de tal manera, que al escribirlos a continuación de las unidades a convertir, se cancelen las unidades no deseadas y se obtengan en el resultado las unidades deseadas: en este ejemplo lo escribiríamos así :
operación: resultado
60 Km 1000 m 1h 60x1000
h Km 3600 s 3600 16.67 m/s

Ejemplos: Para calcular la presión atmosférica estándar en base a la columna de 76 cm de mercurio. Tenemos que 1Pa = gh, donde  es la densidad del Hg.



Datos:
 = 13600 Kg/m3 13,600 Kg 9.81 m 0.76 m
g = 9.81 m/s2 Pa =
h = 0.76 m m3 s2

Pa = 1.013x105 Kg.m/s2 = 1.013x105 N/m2
m2
Presión atmosférica = 1.013x105 Pa (Pascales)

Ejemplo: Calcular la masa de un átomo de mercurio si : M = 201Kg/Kmol, NA = 6.023x1026 átomos/Kmol y m (masa)= M/NA
NA = Número de Avogadro FACTORES:
1Kmol
Equivalencia: 6.023x1026 átomos

1Kmol = 6.023x1026 átomos 6.023x1026 átomos
1 Kmol

Seleccionamos el 1er factor, entonces tenemos:

201 Kg 1 Kmol
m= = 3.34x10-25 Kg/ átomo
Kmol 6.023x1026 átomos

Ejemplo: Cual es el volumen que ocupa un átomo de mercurio si:
 (densidad) = 13,600 Kg/ m3, m = 3.34x10-25 Kg/ átomo.

Si  = m/v, entonces: v= m/
Factores:
Equivalencia: 1m3
13,600 Kg
1M3 de Hg = 13,600 Kg
13,600 Kg
1 m3
Resultado:
3.34x10-25 Kg 1 m3
v = = 2.45x10-29 m3/átomo
átomo 13,600 Kg



Ejemplo: La presión y la temperatura atmosférica estandar son:
1.01325x105PA y 0°C. Calcule el volumen que ocupa un Kilomol de gas ideal.

Datos: Fórmula:
P= 1.01325x105 PA
T= 273.15 °K PV = RT  V = RT
R= 8314 j/ Kmol .°K P
= m/M = 1 Kmol
( j )
1 Kmol 8314 N.m 273.15 °K 1 m2
V = = 22.4 m3
Kmol . °K 1.01325x105 N
Esto quiere decir que un Kilomol de cualquier gas ideal, ocupa un volumen de 22.4 m3 en condiciones estándar.

Ejemplo: Convertir 25 galones a litros:

Equivalencia 1 galón
(factor de conversión) 3.785 lt.

1 galón = 3.785 lts. 3.785 lt.
1 galón

25 galones 3.785 lt.
= 94.625 lts.
1 galón

Ejemplo: Una cierta cantidad de un gas a una presión de 730 mm de Hg y a una temperatura de -20°C, ocupa 20.0 lts. ¿cuál es su volumen a presión y temperatura normal?



Datos: Fórmula
P1= 730 mm. Hg P1V1 = P2V2
V1= 20 lt. T1 T2
T1= 273-20 °K
P2= 760 mm Hg V2 = P1V1T2
V2 = ¿ T1P2
T2= 273 °K

730 mm 20 lt 273 °K 1 1
V2 = = 20.7 lts.
253 °K 760 mm




¿Cuántos moles de gas están presentes en el sistema del problema anterior?

Datos: Fórmula
V = 20.7 lts.
R = 0.0821 lt. atm/Kmol PV = RT   = PV
T = 253 °K RT

P = 730 mm 1 atm = 0.9605 atm
760mm


0.9605 atm 20 lt 1 mol . °K 1
 = = 0.925 moles
0.821 lt. atm 253 °K





Ejemplo: Convertir 40 Km a m, cm, mm, ft, in. (ft= pies , in= pulgadas)

40 Km 1000 m
= 40,000 m
Km



40 km 1000 m 100 cm
= 4x106 cm
Km m


40 Km 1000 m 1000 mm
= 4x107 mm
Km m

40 Km 1000 m 3.28 ft
= 131,200 ft
Km m

40 Km 1000 m 39.37 in
= 1.5748x106 in (pulg)
Km m


TABLA DE CONVERSIÓN DE UNIDADES
UNIDADES MULTIPLICAR POR PARA OBTENER
Acres 0.4047 Hectáreas
Amperios (Amperes) Volts Watts
Amperios (Amperes) Volts x 0.00173 Kilovoltamperios (KVA)
Atmósferas (presión) 1.03322 Kg/cm2
Bares (presión) 1.0197 Kg/cm2
Barias (presión) 0.001 Milibares
Barriles Británicos 164 Litros
Barriles de petroleo 159 Litros
Barriles US 119.237 Litros
Braza 1.829 Metros
Braza 2 Yardas
British thermal units (BTU) 252 Calorías
British thermal units (BTU) 102 Kilográmetros (Kgf.m)
Bushels Británicos 36.35 Litros
Bushels US 35.2383 Litros
Caballos ingleses (HP) 0.746 Kilowatts
Caballos métricos (CP) 0.735 Kilowatts
Caballos métricos (CP) 75 Kilográmetros / seg.
Calorías . Gramo 0.425 Kilográmetros
Calorías . Kilo 1000 Calorías . Gramo
Calorías . Kilo 3.968 British thermal units (BTU)
Centímetros 0.3937 Pulgadas
Centímetros cuadrados 0.155 Pulgadas cuadradas
Centímetros cúbicos 0.061023 Pulgadas cúbicas
Decímetros cuadrados 15.5 Pulgadas cuadradas
Decímetros cúbicos 61.023 Pulgadas cúbicas
Dinas 0.00102 Gramos . Fuerza
Dracmas Británicas 3.5495 Mililitros o cm. Cúbicos
Dracmas fluidas US 3.69625 Mililitros o cm. Cúbicos
Ergios (erg) (energía) 0.00102 Gramos . Cm
Fathoms 1.829 Metros
Furlongs 201.17 Metros
Galones Británicos 4.5437 Litros
Galones US 3.7853 Litros
Grains 0.0648 Gramos
Gramos 15.4323 Grains
Gramos 0.035274 Onzas avoirdupoids
Gramos 0.03215 Onzas troy
Hectáreas 2.471 Acres
Hectolitros 2.838 Bushels US
Hectolitros 3.5315 Pies cúbicos
Hundredweigths (cwt) 45.36 Kilogramos
Hundredweigths (cwt) 100 Libras avoirdupoids
Julios (Joule) 0.102 Kilográmetros
Julios (Joule) 0.738 Libras. Pie (ft . Lb)
Kilográmetros 9.81 joules
Kilográmetros 7.233 Libras. Pie (ft . Lb)
Kilográmetro/segundo 9.81 Watts
Kilogramos 2.21 Libras av.
Kilogramos 35.2734 onzas av.
Kilogramos 2.679 Libras troy
Kilogramos 32.1507 Onzas troy
Kilogramos . fuerza 0.981 Megadinas
Kg/ cm2 14.223 Libras/ pulg. Cuadrada
Kilolitros (= metro cúbico) 35.315 Pies cúbicos
kilómetros 0.62137 Millas
Kilómetros cuadrados 0.3861 Millas cuadradas
Kilómetros por hora (Km/h) 0.54 Nudos
Kilómetros por hora (Km/h) 0.27778 Metros/seg.
Kilowatts 102 Kilográmetros/seg.
Kilowatts 1.341 Caballos ingleses (HP)
Kilowatts 1.36 Caballos métricos (CP)
Leguas náuticas 4.828 Kilómetros
Libras avoirdupoids 0.454 Kilogramos
Libras . Pie 0.1382 Kilográmetros
Libras / pie (lb/ft) 1.488 Kilogramos / metro
Libras / pie cúbico (lb/ft3) 16.02 kilogramos / m3
Libras / pulg2 (lb/in2) 0.07 Kg/cm2
Libras /pulg3 (lb/in3) 27.68 Gr / cm3
Libras troy 0.3732 Kilogramos
Litros 0.2642 Galones US
Litros 0.22 Galones Británicos
Litros 2.2046 Libras de agua
Litros 61.023 Pulg. Cúbicas (in3)
Megadinas 1.0197 Kg . Fuerza
Metros 1.0936 Yardas
Metros 3.2808 Pies
Metros 39.37 Pulgadas
Metros cuadrados 1.196 Yardas cuadradas
Metros cuadrados 10.764 Pies cuadrados
Metros cúbicos 1000 Litros
Metros cúbicos 1.308 Yardas cúbicas
Metros cúbicos 35.315 Pies cúbicos (ft3)
Metros cúbicos 264.18 Galones US
Metros cúbicos 220 Galones Británicos
Metros cúbicos 2204.6 Libras de agua
Micrones 0.001 milímetros
Micrones 0.03937 Milésimos de pulgada
Milésimos de pulgada 0.0254 Milímetros
Milibares (presión) 0.001 Bares
Miligramos 0.01543 Grains
Milímetros 0.03937 Pulgadas
Milímetros cuadrados 0.00155 Pulgadas cuadradas
Millas (estatuto) 1.613 Kilómetros
Millas cuadradas 2.59 Km. Cuadrados
Millas náuticas 1853 Kilómetros
Millas náuticas 1.15 Millas estatuto
Nudos 1.853 Km/ hora
Onzas avoirdupoids 28.35 Gramos
Onzas fluidas Británicas 28.4 Mililitros (ó cm. Cúbicos)
Onzas troy 31.1035 Gramos
Onzas fluidas US 29.57 Mililitros (ó cm. Cúbicos)
Pecks Británicos 9.0873 Litros
Pecks US 8.8096 Litros
Pies 30.48 Centímetros
Pies 0.3048 Metros
Pies cuadrados 0.0929 Metros cuadrados
Pies cúbicos 28.317 Decímetros cúbicos
Pies cúbicos 7.473 Galones US
Pies cúbicos 6.232 Galones Británicos
Pints áridos US 0.5506 Litros
Pints líquidos US 0.4732 Litros
Pints Británicos 0.568 Litros
Pulgadas 2.54 Centímetros
Pulgadas 0.0254 Metros
Pulgadas cuadradas 6.452 Centímetros cuadrados
Pulgadas cúbicas 16.387 Centímetros cúbicos
Quarts áridos US 1.1012 Litros
Quarts líquidos US 0.9463 Litros
Quarts Británicos 1.136 litos
Quilates 200 Miligramos
Toneladas cortas 0.9072 Toneladas métricas
Toneladas cortas 2000 Libras
Toneladas de arqueo 1.132 Metros cúbicos
Toneladas de arqueo 40 Pies cúbicos
Toneladas largas 1.016 Toneladas métricas
Toneladas largas 2240 Libras
Toneladas métricas 0.9842 Toneladas largas
Toneladas métricas 1.1023 Toneladas cortas
Toneladas métricas 2204.62 Libras
Watts 0.102 Kilográmetros por seg.
Watts 0.001 Kilowatts
Yardas 0.9144 Metros
Yardas cuadradas 0.8361 Metros cuadrados
Yardas cúbicas 0.7646 Metros cúbicos
Toneladas cortas 904.9774 Kg
Toneladas largas 1,013.5747 Kg
Toneladas Métricas 997.5657 Kg

CONVERSIÓN DE UNIDADES UTILIZANDO LA “REGLA DE TRES SIMPLE”
Para convertir unidades de un sistema a otro o múltiplos o submúltiplos de la misma unidad en un mismo sistema, se puede utilizar la regla de tres simple, utilizando los factores de conversión o las equivalencias descritas anteriormente de la manera siguiente:
Ejemplo No. 1.- Convertir 60 Km. A metros.
Partiendo de la equivalencia tenemos que:

1 Kilómetro es a -----------1000 metros

como 60 Kilómetros es a ----------- x metros

Debe colocarse en columna metros debajo de metros y Kilómetros debajo de kilómetros para que esté bien planteada la regla de tres simple y se puede simplificar de la siguiente manera:


1 Km.-------------------1000 m o 1000 m---------1Km

60 Km.----------------- x m xm-------------60 Km

Los dos planteamientos son correctos y se lee igual. Para la solución en ambos casos se multiplica 60 km. por 1000 m y se divide entre 1 Km:
60 Km x 1000 m = 60,000 m Se cancelan
1 Km km. Y quedan m


Este mismo planteamiento puede utilizarse para convertir metros a kilómetros:
Ejemplo No. 2.- Convertir 60,000 m a Km.

Se hace el mismo planteamiento: 1 Km -----------1000 m

X Km.----------60,000 m


Solución: x = 60,000 m x 1 Km = 60 Km
1,000 m

Se cancelan m y resultan km.


Ejemplo No. 3.- Convertir 80 Km/h a m/s y ft/s.

Primero convertimos los kilómetros a metros y los metros a ft (pies)
1 Km ---------1000m x = 80 Km x 1000 m = 80,000 m
80 Km --------- x m 1 Km

1 m -------------3.28 ft x = 80,000 m x 3.28 ft = 262,400 ft
80,000 m ------------- x ft 1 m

Luego, si una hora equivale a 3,600 segundos, entonces dividimos cada una de las cantidades calculadas entre 3,600 s, para convertirlas a m/s y ft/s:
80,000 m / 3600 s = 22.22 m/s 262,400 ft / 3600 s = 72.9 ft/s

También podemos hacer la conversión directamente utilizando los factores de conversión de velocidad:


1Km/h --------------0.2778 m/s 1Km/h ---------- 0.9113 ft/s
80 Km/h ----------- x m/s 80 Km/h -------- x ft/s

x= 80 Km/h x 0.2778 m/s x = 80 Km/h x 0.9113 ft/s
1 Km/h 1 Km/h

x = 22.22 m/s x = 72.9 ft/s

Ejemplo No. 4.- Convertir 60 Kgf a Newtons (N), lbf y Dinas.

1 Kgf ----------- 9.8 N 1 Kgf ---------- 2.21 lbf
60 kgf ----------- x N 60 Kgf --------- x lbf

x = 60 Kgf x 9.8 N = 588 N x = 60 Kgf x 2.21 lbf = 132.6 lbf
1 Kgf 1 Kgf

1 N ------------ 1x105 Dinas x = 588 N x 1x105 Dinas = 5.88 x 107 D
588 N --------- x Dinas 1 N



Escalas de temperatura
Una de las primeras escalas de temperatura, todavía empleada en los países anglosajones, fue diseñada por el físico alemán Gabriel Daniel Fahrenheit. Según esta escala, a la presión atmosférica normal, el punto de solidificación del agua (y de fusión del hielo) es de 32 °F, y su punto de ebullición es de 212 °F. La escala centígrada o Celsius, ideada por el astrónomo sueco Anders Celsius y utilizada en casi todo el mundo, asigna un valor de 0 °C al punto de congelación del agua y de 100 °C a su punto de ebullición. En ciencia, la escala más empleada es la escala absoluta o Kelvin, inventada por el matemático y físico británico William Thomson , Lord Kelvin. En esta escala, el cero absoluto, que está situado en -273,15 °C, corresponde a 0°K, se le llama escala Kelvin y una diferencia de un grado kelvin equivale a una diferencia de un grado en la escala centígrada. Existe otra escala en uso que también tiene el cero en el cero absoluto que se sitúa en –460 grados fahrenheit, se llama escala Rankine y una diferencia de un grado rankine equivale a una diferencia de un grado en la escala Fahrenheit.
Ebullición 672°R 212°F 373°K 100°C
agua



fusión hielo 492°R 32°F 273°K 0°C
460°R 0°F


0°R -459.69°F 0°K -273.16°C
cero absoluto


Conversión de temperatura en las diferentes escalas:
Con las siguientes cuatro fórmulas se pueden hacer todas las conversiones:



°C = 5 (°F-32) °F= 9 °C +32
9 5

°K = °C +273 °R = °F + 460

Ejemplo No. 1.- Convertir 500°K a °C, °F y °R.
De la fórmula °K = °C +273, tenemos que °C = °K –273
Por lo tanto °C = 500 –273 = 227°C

Siguiendo la flecha °F = 9 x 227 +32= 440.6 °F
5
Siguiendo la 2ª flecha °R = 440.6 + 460 = 900.6°R

Ejemplo No 2.- Convertir 212°F a °R, °C y °K.

°C = 5 (°F-32) °F= 9 °C +32
10 9 5

°K = °C +273 °R = °F + 460

Las flechas indican las operaciones que hay que hacer:
1°.- °R = °F +460 = 212 + 460 = 672°R
2°.- °C = 5(°F –32) = 5(212 –32) = 100°C
9 9
3°.- °K = °C + 273 = 100 + 273 = 373°K

Si observamos los resultados y los comparamos con la figura donde se presentan las escalas de temperatura, vemos que todos estos valores corresponden al punto de ebullición del agua, por lo que comprobamos que los cálculos son correctos.
Si siempre se colocan las cuatro fórmulas en forma de rectángulo como en los dos ejemplos, es muy sencillo elegir el camino que hay que seguir para hacer las conversiones y cuando mucho se harán dos o tres cálculos. Este procedimiento evita que haya que memorizar doce fórmulas diferentes y más complicadas que se requerirían para hacer las conversiones directamente.

Otro método de conversión de temperaturas de diferentes escalas.
Partiendo de la relación que existe entre los valores de los puntos de fusión y puntos de ebullición del agua en las cuatro escalas de temperatura, podemos escribir lo siguiente:

°C = 100 = 5 de donde °C = 5(°F –32) y °F = 9°C + 32
°F-32 180 9 9 5

°C = 5
°R-492 9 de donde °C = 5(°R-492) y °R = 9°C +2460
9 5

°C = 100 de donde °C = °K –273 y °K = °C +273
°K-273 100

De igual manera: °F = °R –460 y °R = °F +460

°K –273 = 5
°F –32 9 de donde °F = 9°K –2297 y °K = 5°F +2297
5 9

°K –273 = 5
°R –492 9 de donde °K = 5°R –3 y °R = 9°K +3
9 5

Con este método se pueden calcular estas 12 fórmulas y con ellas poder hacer todas las conversiones directamente. También se pueden manejar mediante la siguiente tabla.


°C °F °K °R

°C {(9°C)/5} +32 °C + 273 (9°C+2460)/5

°F {5(°F-32)}/9 (5°F+2297)/9 °F +460

°K °K –273 (9°K-2297)/5 (9°K +3)/5

°R (5°R-2460)/9 °R –460 (5°R –3)/9

AREAS Y VOLUMEN DE FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS

Generalidades:

Una “unidad cuadrada” es la superficie encerrada por un cuadrado cuyo lado es la unidad.

El “área de una superficie cerrada”, es el número de unidades cuadradas contenidas en su superficie.

El “perímetro” de un polígono cualquiera es la suma de las longitudes de sus lados.

. Teoremas sobre áreas:

Teorema 1.- El área de un rectángulo es igual al producto de la longitud de su base por la longitud de su altura. A = b x h
2
Teorema 2.- El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud de un lado.

Unidad cuadrada Rectángulo Cuadrado

1 1u2 2 16u2 h=2
1 5 25u2
b = 8
5










Fórmula: l fórmula
A= b x h A = l2 = 1u2
A = 8 x 2 = 16u2 A = 52 = 25u2

Teorema 3.- El área de un paralelogramo es igual al producto de su base por su altura.


h
Fórmula: A = b x h

b

Teorema 4.- El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de su base por su altura.
B= base p= semiperímetro
h= altura a,b,c,= lados
A = ½ B x h = p(p-a)(p-b)(p-c)

Teorema 5.- El área de un rombo es igual a la mitad del producto de sus diagonales.
D= Diagonal mayor
Area del rombo = ½ D x d d= Diagonal menor

Teorema 6.- El área de un trapecio es igual a la semisuma de sus bases por la altura.

Area de un trapecio = 1/2( b1 + b2 ) x h

Teorema 7.- El área de un polígono regular es igual al producto de su semiperímetro por su apotema.
Una “apotema” de un polígono regular es un segmento de línea que parte de su centro y es perpendicular a uno de sus lados. Una apotema también es un radio del círculo inscrito en el polígono. Regular.






Area de un polígono regular
A = p x a
a 2

p = perímetro
a = apotema

Teorema 8.- El área de un círculo es igual al producto de  por el cuadrado del radio.

Area de un círculo
A =  r2

Teorema 9.- El área de una corona circular de radios r y r’ es igual al producto de  por la diferencia de los cuadrados de dichos radios. r = radio mayor
Area corona circular =  ( r2 – r’2 ) r’ = radio menor





VOLUMEN DE LOS CUERPOS REDONDOS

• Cilindro V = área de la base por la altura =  r2 h ( r = radio de la base, h la altura )

• Cono V = 1/3 área de la base por la altura = 1/3  r2 h ( r = radio de la base, h = altura )

• Esfera V = 4/3  r3




TEOREMA DE PITAGORAS

“En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.
La hipotenusa de un triángulo rectángulo, tiene las siguientes características mediante las cuales se puede identificar fácilmente:
a).- Es el lado mayor del triángulo rectángulo.
b).- Es el lado opuesto al ángulo recto.
los catetos de un triángulo rectángulo, son los lados del triángulo que forman el ángulo recto.




P r Q M
A n

c b q p S s

B a C m
R N
(1) (2) (3)

En la figura (1), “b” es la hipotenusa y “c” y “a” los catetos;
En la figura (2), “p” es la hipotenusa y “q” y “r” los catetos;
En la figura (3), “m” es la hipotenusa y “n” y “s” los catetos.









Escribiendo el “teorema de Pitágoras” en el lenguaje matemático para cada una de las figuras tendremos:
Para la figura (1) Para la figura (2) Para la figura (3)

b2 = a2 + c2 p2 = q2 + r2 m2 = n2 + s2

 b = a2 + c2 p = q2 + r2 m = n2 + s2

a = b2 – c2 q = p2 – r2 n = m2 – s2


c = b2 – a2 r = p2 – q2 s = m2 – n2


Aplicación:

C Si b = 6 y c = 8; calcular c.
Aplicando el teorema de Pitágoras tendremos:
b a a2 = b2 + c2 (1)

A c A  a = b2 + c2 = 62 + 82
a = 36 + 64 = 100 = 10
En la misma figura, si a = 12 y c = 10; calcular b
Despejando b de (1)
b = a2 – c2 = 122 -102 = 144 –100 = 44
b = 6.633

En la misma figura si a = 20 y b= 9; calcular c
Despejando c de (1)
c = a2 – b2 = 202 – 92 = 400 – 81 = 319
c = 17.85






RAZONES TRIGONOMETRICAS ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO RECTANGULO

Al trabajar con un triángulo rectángulo cualquiera, conviene designar los vértices de los ángulos con letras mayúsculas, como por ejemplo, A,B,C, y los lados opuestos a los ángulos con las letras a,b,c, respectivamente. Con relación al ángulo A, el lado opuesto “a” recibe el nombre de cateto opuesto y “ b” cateto adyacente; con relación al ángulo B, el cateto adyacente es “a” y el cateto opuesto es “b”.
Características para distinguir los lados de un triángulo rectángulo. Los lados de un triángulo rectángulo son la hipotenusa y dos catetos.
La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto y es el lado mayor del triángulo.
Cateto opuesto es el que está frente al ángulo, designado con la misma letra que el ángulo, pero minúscula.
Cateto adyacente es el que forma parte de los lados del ángulo. En la figura, “b” es el cateto adyacente del ángulo A y “a” es el cateto adyacente del ángulo B.

B Y P(x,y)


c a r y

b O  M X
A C
Fig. 1 x
Fig. 2

Las funciones trigonométricas del ángulo A en la figura 1 y del ángulo  en la fig 2 , pueden definirse en términos de los lados del triángulo rectángulo , de la manera siguiente:
De la figura 1: De la figura 2:
sen A = cateto opuesto/hipotenusa = a/c sen  = y/r
cos A = cateto adyacente / hipotenusa = b/c cos  = x/r
tan A = cateto opuesto / cateto adyacente = a/b tan  = y/x
cot A = cateto adyacente / cateto opuesto = b/a cot  = x/y
sec A = hipotenusa / cateto adyacente = c/b sec  = r/x
csc A = hipotenusa / cateto opuesto = c/a csc  = r/y



FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS COMPLEMENTARIOS

Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios, por lo cual se tiene que:
sen B = b/c = cos A cot B = a/b = tan A
cos B = a/c = sen A sec B = c/a = csc A
tan B = b/a = cot A csc B = c/b = sec A
Estas relaciones asocian las funciones en pares seno-coseno, tangente-cotangente, secante-cosecante, de modo que cada una de las funciones de un par es la cofunción de la otra. Así, cualquier función de un ángulo agudo es igual a la correspondiente cofunción de su ángulo complementario.

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS DE 30°, 45° Y 60°

ángulo  sen  cos  tan  cot  sec  csc 

30° ½ 3 /2 1/ 3 3 2/ 3 2

45° 1/ 2 1/ 2 1 1 2 2

60° 3/2 ½ 3 1/ 3 2 2/ 3


TABLAS DE VALORES NATURALES

H
asta hace poco tiempo, para facilitar los cálculos trigonométricos, se han construido tablas que contienen los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos comprendidos entre 0° y 90°, y se les llama tablas de valores naturales. Estas, gracias a las calculadoras electrónicas, han quedado un tanto obsoletas.



RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS

Sabemos que todo triángulo rectángulo consta de 6 elementos que son: tres lados (2 catetos y la hipotenusa) y 3 ángulos.
Con solo dar como datos tres de esos 6 elementos, queda bien determinado el triángulo. En el caso de triángulos rectángulos, hay un elemento conocido que es el ángulo recto. Entonces, solo es necesario conocer dos elementos (uno de los cuales tiene que ser un lado) para poder determinar los restantes. Los casos que se pueden presentar son los siguientes:
1) dados los dos catetos
2) dados un cateto y la hipotenusa
3) dados un cateto y un ángulo agudo
4) dados la hipotenusa y un ángulo agudo
Las herramientas matemáticas con que se cuenta para la resolución de triángulos rectángulos son: el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas.

ANGULOS DE ELEVACION Y DE DEPRESION

A
ngulo de elevación de un punto es el ángulo formado, en el lugar de observación, por una visual dirigida al punto considerado, situado encima de una recta horizontal situada en el mismo plano vertical que la visual.
Punto observado

edificio


ángulo de elevación
punto de observación horizontal










A
ngulo de depresión es el ángulo formado, en el lugar de observación, por una visual dirigida al punto considerado, debajo de una recta horizontal situada en el mismo plano vertical que la visual.
punto de
observaci&oa
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